对数型函数定义域、值域为R的问题

seatop , 2009年10月7日 , 高中数学 , 评论(1) , 引用(0) , 阅读(16507) , Via 本站原创 | |
最近发现很多网友都在搜索这个问题,高一应该讲到这个地方,容易出错,不易理解!

这个问题一般是将对数函数与二次函数复合,研究定义域为R或值域为R

函数

先理解一下对数函数本身的性质,对于函数,定义域为(0,+∞),即真数大于0时,对数才有意义;当真数(自变量x)能够取遍所有大于0的实数时,此时的值域为R;其实对数函数是一一对应的函数,当真数不能取得某个正数时,值域里必然少它所对应的一个函数值;所有要注意值域为R的条件是真数能够取“遍”所有的正数!

再回到原先的问题来

先说明一点,a=0也是容易被忽略的
a=0时,当b≠0,定义域不可能为R;值域为R
            若b=0,c>0,定义域为R;值域不可能为R

接下来要结合二次函数来理解和解决问题

若要求定义域为R,即x取遍一切实数时,内函数的值都为正,即保证真数为正;问题可变为对任意x∈R成立

此时结合二次函数的图像可知只需a>0,

若要求值域为R,则当x在定义域范围内,能够让内函数(二次函数)的函数值取“遍”所有的正数;这儿无需在定义域上纠缠不清,突破口在于怎样保证二次函数的函数值能取“遍”所有正数,即

接下来同样结合二次函数图像,只有当二次函数的开口向上且与x轴有交点时才能保证二次函数的值能取遍所有正数,即a>0,

您也许要问在x轴上和下方的图像对应的值不是没有意义了吗,是的,它们不在定义域之内啊!我们只要求值域为R,没要求定义域为R

也许您又要问,有没有可能定义域和值域同时为R呢?答案当然是否定的!

本文地址:http://www.seatop.com.cn/post/305/

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最后编辑: seatop 编辑于2014/01/08 09:30
我是奇迹 Homepage
2014/01/07 23:11
Δ不能等于0吗?
seatop 回复于 2014/01/08 09:29
能等于0,呵呵,谢谢!
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