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　　我们知道，实数集R中的大小关系具有以下性质：


　　1. 对于任意两个（实）数a，b来说，a＜b，a＝b，a＞b这三种情况有且仅有一种成立；


　　2. 如果a＜b，b＜c，那么a＜c；


　　3. 如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；


　　4. 如果a＜b，b＞c，那么ac＜bc 。


　　然而在复数C中，不论我们如何规定大小关系，都无法同进满足上面四个性质，我们用反证法证明这一结论。假设在复数集C中能规定一种大不关系，使它同进满足上面四个性质，我们看0与R这两个复数，由于性质（1）及i≠0，可知0＜i，i＜0这两种情况有且仅有一种成立。下面证明，这一由性质（1）导出的结论，偏偏又会与性质（1）矛盾。


　　先看0＜i的情况，这时由性质（4），可得0·i＜i2 => 0＜-1


　　再一次由性质（4），可得0?(-1)＜(-1)2 => 0＜-1


　　另一方面，由0＜-1根据性质（3），可得0＋1＜-1＋1 => 1＜0


　　这样，0＜1与1＜0同时成立，这与性质（1）矛盾。


　　再看i＜0的情况，这时由性质（3），可得i＋(-i)＜0＋(-i => 0＜-i 。于是性质（4），可得0?(-i)＜(-i)2 => 0＜-1 。


　　由此，可以和上面一样，推得0＜1与1＜0同时成立，与性质（1）矛盾。


　　这样，我们证明了，在复数集C中，对任何两个数a，b都适用的大小关系是不存在的。

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最后编辑： seatop 编辑于2009/07/01 22:06