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基本不等式一习题

seatop , 2012年11月5日 , 高中数学 , 评论(0) , 引用(0) , 阅读(4250) , Via 本站原创

已知 $a,b,c$ 均为正数，则 $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+2bc}$ 的最小值为__________

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Tags: 不等式 , 最值 , 均值

递推不等式一例

seatop , 2011年4月23日 , 高中数学 , 评论(0) , 引用(0) , 阅读(1912) , Via 本站原创

一时可能想不到怎样去解好，现在想到这种解法而记录下来，留着慢慢想。

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Tags: 递推 , 不等式

南通市2011届高三第二次调研测试12-14解析

seatop , 2011年3月31日 , 高中数学 , 评论(0) , 引用(0) , 阅读(2217) , Via 本站原创

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Tags: 绝对值 , 不等式

一个对数不等式的证明

seatop , 2010年3月12日 , 高中数学 , 评论(0) , 引用(0) , 阅读(2607) , Via 本站原创

问题求证： $log_n(n+1)>log_{n+1}(n+2),n>1$

方法一

$log_n(n+1)>log_{n+1}(n+2)\\\Leftarrow log_n(n+1)-1>log_{n+1}(n+2)-1\\\Leftarrow log_n{\frac{n+1}{n}}>log_{n+1}{\frac{n+2}{n+1}}\\\Leftarrow log_n{\frac{n+1}{n}}>log_n{\frac{n+2}{n+1}}>log_{n+1}{\frac{n+2}{n+1}}$

方法二

$log_n(n+1)>log_{n+1}(n+2)\\\Leftarrow \frac{1}{log_{n+1}n}>log_{n+1}(n+2)\\\Leftarrow log_{n+1}n\cdot log_{n+1}(n+2)<1\\\Leftarrow log_{n+1}n\cdot log_{n+1}(n+2)< [\frac{log_{n+1}n+log_{n+1}(n+2)}{2}]^2\\= [log_{n+1}\sqrt{n(n+1)}]^2<[log_{n+1}\frac{n+(n+1)}{2}]^2\\=1$

方法三

构造函数 $f(x)=log_x(x+1),x>1$

$f(x)=log_x(x+1)=\frac{ln(x+1)}{ln{x}}\\f'(x)=\frac{\frac{1}{x+1}lnx-\frac{1}{x}ln(x+1)}{ln^2x}<0$

所以函数 $f(x)=log_x(x+1),x>1$ 为减函数

而 $n+1>n>1$ ，所以 $log_n(n+1)>log_{n+1}(n+2)$ .

Tags: 对数 , 不等式

构造三角函数证明不等式或求极限

seatop , 2010年3月1日 , 高中数学 , 评论(4) , 引用(0) , 阅读(3913) , Via 本站原创

此题曾经证明过，证得很复杂，这种证法是从课本习题得到的启发，呵呵！多多研究课本是不错的。

Tags: 三角函数 , 不等式 , 极限

构造函数证明不等式

seatop , 2009年11月21日 , 高中数学 , 评论(1) , 引用(0) , 阅读(3678) , Via 本站原创

已知 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in R,a_1+a_2+a_3=b_1+b_2+b_3,$

$a_1 \cdot a_2+a_2 \cdot a_3+a_3 \cdot a_1=b_1 \cdot b_2+b_2 \cdot b_3+b_3 \cdot b_1,$ 且 $\min\{a_1,a_2,a_3\}\leq \min\{b_1,b_2,b_3\}$

求证： $\max\{a_1,a_2,a_3\}\leq \max\{b_1,b_2,b_3\}$

（2008年北京大学自主招生数学试题）

解析：构造函数 $f(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)$ 和 $g(x)=(x-b_1)(x-b_2)(x-b_3)$

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Tags: 构造 , 函数 , 不等式

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