在归纳推理、数列里经常可以遇到此类问题!
如果直接问5个平面最多可以将空间分成几部分,是不是感觉挺纠结,图又不好画,算又无处下手。
有了上表,问题轻松解决:5个平面最多可以将空间分成26个部分!
约定:
X(n)表示n个点最多可以将一条直线分割的部分数,即任意两点都不重合;
M(n)表示n条直线最多可以将一个平面分割的部分数,即任意两条直线都相交,任意三条直线都不交于同一点;
K(n)表示n个平面最多可以将空间分割的部分数,即任意两个平面都相交,任意三个平面都不相交于同一直线.
关系:
对于点分割直线,每增加一个点,这个点将所在的部分一分为二,所以增加一个部分,显然X(n)=n+1;
对于直线分割平面,每增加一条直线,这条直线与原有的直线都相交,这些交点将这条直线分割成若干部分,而这些部分必然会将其所在的区域一分为二,所以M(n+1)=M(n)+X(n);
对于平面分割空间,每增加一个平面,该平面与原有平面都相交,这些相交直线将这个平面分割成若干部分,这些平面块也必将其所在空间区域一分为二,所以K(n+1)=K(n)+M(n).
本文开头的表格中,数据的关系如此。
公式:
结论:
若圆心到直线的距离为d,要求圆上的点到直线的距离为D,圆的半径为r
则
(1)r<|d-D|时,没有点满足要求;
(2)r=|d-D|时,有1个点满足要求;
(3)|d-D|<r<d+D时,有2个点满足要求;
(4)r=d+D时,有3个点满足要求;
(5)r>d+D时,有4个点满足要求.
理解和记忆可用下面两个图:


例题解析:
1.若圆
上有且仅有两个点到直线
的距离为1,则半径r的取值范围是__________.
先求得d=5,则5-1<r<5+1,即4<r<6.
2.若圆
上至少有三个不同的点到直线
的距离为
,则直线
的倾斜角的取值范围是__________
由条件可得:
,即圆心到直线的距离不大于
,画出图形就可看出答案为[15°,75°]
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若圆心到直线的距离为d,要求圆上的点到直线的距离为D,圆的半径为r
则
(1)r<|d-D|时,没有点满足要求;
(2)r=|d-D|时,有1个点满足要求;
(3)|d-D|<r<d+D时,有2个点满足要求;
(4)r=d+D时,有3个点满足要求;
(5)r>d+D时,有4个点满足要求.
理解和记忆可用下面两个图:
例题解析:
1.若圆
先求得d=5,则5-1<r<5+1,即4<r<6.
2.若圆
由条件可得:
