《贝叶斯公式》教学设计

作者：DEEPSEEK

贝叶斯公式是全概率公式的自然延续，也是高中概率课程中极具思想深度的内容。上一节课学生学会了“由因导果”，本节课则要引导他们理解“执果索因”的逆向思维。这份教学设计从经典的“狼来了”故事切入，将抽象的信任度变化过程量化呈现，并融入医学检测、信用评级等现实案例，帮助学生在情境中领悟贝叶斯公式的核心思想——“用新信息更新既有认知”。

---

《贝叶斯公式》教学设计

一、 基本信息

• 课题：贝叶斯公式
• 教材版本：人教A版（2019）选择性必修 第三册 第七章《随机变量及其分布列》7.1.2
• 课时：1课时
• 授课对象：高二年级学生

二、 教学内容分析

1. 教材地位：本节内容是在学生学习了条件概率、乘法公式和全概率公式之后的重要深化。贝叶斯公式实现了从“由因导果”（已知原因求结果概率）到“执果索因”（已知结果发生，反推由某种原因引起的概率）的思维转变。它不仅是概率论的核心工具，也与人工智能、机器学习等前沿领域紧密相连。
2. 核心素养：通过逆向思维的训练，培养逻辑推理素养；通过现实问题的建模求解，培养数学建模素养；通过对先验概率与后验概率的对比分析，培养数据分析和辩证思维能力。

三、 学情分析

1. 知识储备：学生已经熟练掌握条件概率、乘法公式和全概率公式，能够计算简单情境下的概率问题。
2. 心理特点：学生对“已知结果找原因”的问题有天然的好奇心（如“检测出阳性真的患病吗？”“迟到了最可能是什么交通工具？”），但容易陷入直觉误区（如忽视基础发病率）。本节课正是要帮助学生用数学理性纠正直觉偏差。

四、 教学目标

1. 知识与技能：理解贝叶斯公式的推导过程，掌握其基本形式；能针对具体问题，运用贝叶斯公式计算后验概率。
2. 过程与方法：通过实例探究，经历从特殊到一般的归纳过程，体会“执果索因”的逆向思维方法，理解先验概率与后验概率的区别与联系。
3. 情感态度与价值观：感受数学在医学诊断、质量控制、信用评估等领域的应用价值；领悟“用新证据修正认知”的科学态度，培养理性思辨精神。

五、 教学重难点

• 重点：贝叶斯公式的推导及其应用。
• 难点：理解先验概率与后验概率的区别；准确识别问题中的“原因”与“结果”，并正确代入公式。

六、 教学过程设计

（一） 情境导入，激发兴趣（约5分钟）

• 故事引入：播放或讲述《狼来了》的童话片段。
• 问题提出：设问——“设村民最初对放羊娃的信任度为90%，第一次喊‘狼来了’发现是假的，信任度会降为多少？第二次呢？第三次喊‘狼来了’时，还有多少村民会相信？我们能否用数学公式量化这个信任度变化的过程？”
• 设计意图：用耳熟能详的故事制造认知冲突，将抽象的“信任”概念转化为可计算的概率，激发学生探究“如何根据新证据更新原有判断”的兴趣。

（二） 复习回顾，铺垫新知（约3分钟）

• 复习：回顾全概率公式。
  • 设$A_1, A_2, \dots, A_n$是样本空间的一个划分，则对任意事件$B$，有 \(P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i)\)
• 过渡：全概率公式帮我们求出了结果$B$发生的总概率。现在反过来思考：如果$B$已经发生了，它是由某个原因$A_i$引起的可能性有多大？这就是本节课要研究的贝叶斯公式。

（三） 问题驱动，探究新知（约15分钟）

1. 从特例出发，推导公式

• 问题：承接上一节的工厂问题。已知甲、乙、丙三厂市场占有率分别为25%、35%、40%，次品率分别为5%、4%、2%。现从市场中任买一件产品，发现是次品（事件$B$发生）。求这件次品来自甲厂的概率 $P(A_1

  B)$。

• 引导：

  1. 根据条件概率定义：$P(A_1

     B) = \frac{P(A_1B)}{P(B)}$。

  2. 分子$P(A_1B)$用乘法公式：$P(A_1)P(B

     A_1)$。

  3. 分母$P(B)$用全概率公式：$\sum_{i=1}^{3} P(A_i)P(B

     A_i)$。

  4. 代入得：$P(A_1

     B) = \frac{P(A_1)P(B

     A_1)}{\sum_{i=1}^{3} P(A_i)P(B

     A_i)}$。

• 抽象概括：
  • 一般地，设$A_1, A_2, \dots, A_n$是一组两两互斥的事件，且构成样本空间$\Omega$的一个划分，$P(A_i)>0$。则对任意事件$B$（$P(B)>0$），有： \(P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j)P(B|A_j)}\) 这个公式称为贝叶斯公式，也称为逆概率公式。
• 概念辨析：
  • 先验概率 $P(A_i)$：在获得新信息（事件$B$）之前，根据已有经验对各原因的概率估计。

  • 后验概率 $P(A_i

    B)$：在获得新信息（事件$B$发生）之后，对原因概率的重新估计。

• 设计意图：从学生熟悉的例题入手，自然推导出公式，降低抽象难度。通过概念辨析，帮助学生理解贝叶斯公式的核心思想——“用新证据更新认知”。

（四） 例题精讲，深化理解（约15分钟）

例1（医学检测——“先验概率”的威力）

某种疾病的发病率为0.1%（即$P(\text{病})=0.001$）。现有一种检测方法，患者检测呈阳性的概率为99%（即$P(\text{阳}

\text{病})=0.99$），健康人检测呈阳性的概率为2%（即$P(\text{阳}

\text{健})=0.02$，假阳性）。若某人检测结果呈阳性，求他真正患病的概率。

• 步骤规范（板书示范）：
  1. 设事件：设$A$ = “患有该病”，$\overline{A}$ = “未患该病”；$B$ = “检测呈阳性”。

  2. 写概率：$P(A)=0.001$, $P(\overline{A})=0.999$, $P(B

     A)=0.99$, $P(B

     \overline{A})=0.02$。

  3. 代公式： \(P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})}\) \(= \frac{0.001 \times 0.99}{0.001 \times 0.99 + 0.999 \times 0.02} = \frac{0.00099}{0.00099 + 0.01998} \approx \frac{0.00099}{0.02097} \approx 0.0472\)
• 结果解读：检测呈阳性的人，真正患病的概率竟然不到5%！引导学生讨论原因（基础发病率极低，假阳性虽小但人群基数大）。强调先验概率对后验概率的重要影响。

例2（《狼来了》的量化分析）

设村民对放羊娃的初始信任度为90%（即$P(\text{诚信})=0.9$）。如果说谎，喊“狼来了”的概率为0.1；如果诚信，喊“狼来了”的概率为0.8（假设偶尔会开玩笑）。第一次喊“狼来了”后，发现是假的（即事件“喊”发生但无狼），求更新后的信任度$P(\text{诚信}

\text{喊})$。若第二次又喊假话，信任度会如何变化？

• 计算（师生共同完成）：

  • 第一次更新：$P(\text{诚信}

    \text{喊}) = \frac{0.9 \times 0.1}{0.9 \times 0.1 + 0.1 \times 0.8} = \frac{0.09}{0.09+0.08} = \frac{0.09}{0.17} \approx 0.53$。

  • 第二次更新：以0.53作为新的先验概率$P(\text{诚信})$，再次代入公式，可得信任度降至约10%。
• 设计意图：通过经典医学案例，纠正直觉偏差，凸显贝叶斯公式的现实意义；通过“狼来了”故事，动态演示后验概率的迭代更新过程，生动体现“信任破产”的数学逻辑。

（五） 课堂练习，巩固提升（约5分钟）

练习题（交通问题）

有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机的概率分别为0.3, 0.2, 0.1, 0.4。坐火车、坐船、坐汽车迟到的概率分别为0.25, 0.3, 0.1，坐飞机不迟到。结果他迟到了，求他最可能是坐什么交通工具来的？

• 提示：计算$P(\text{火车}

  \text{迟到})$、$P(\text{船}

  \text{迟到})$、$P(\text{汽车}

  \text{迟到})$，比较大小。

• 设计意图：检验学生对“原因”事件的划分能力，巩固贝叶斯公式的应用步骤。

（六） 课堂小结，布置作业（约2分钟）

1. 知识层面：贝叶斯公式的形式与推导。
2. 思想方法：
   • 执果索因：已知结果反推原因的概率。
   • 动态更新：后验概率可作为新的先验概率，随着新信息不断调整认知。
   • 理性思辨：不要被直觉误导，要相信数学计算（如医学检测案例）。
3. 拓展延伸：贝叶斯公式在垃圾邮件过滤、人工智能、金融风险评估等领域的广泛应用。
4. 作业布置：
   • 基础作业：教材习题（计算次品溯源、信用评级等）。
   • 拓展作业：查阅资料，了解贝叶斯方法在“阿尔法狗”或“自动驾驶”中的应用。

七、 板书设计

7.1.2 贝叶斯公式

一、回顾
    全概率公式：P(B) = ∑ P(A_i)P(B|A_i)

二、贝叶斯公式
    1. 公式：P(A_i|B) = [P(A_i)P(B|A_i)] / ∑ P(A_j)P(B|A_j)
    2. 概念：
        先验概率 P(A_i)：原有认知
        后验概率 P(A_i|B)：更新后认知
    3. 思想：执果索因，动态更新

三、解题步骤
    1. 设事件，找划分
    2. 确定先验概率和条件概率
    3. 代入贝叶斯公式计算

四、例题区
    （例1 医学检测）
    （例2 狼来了）

八、 教学反思

本节课的设计强调从学生熟悉的情境出发，自然过渡到抽象公式，避免死记硬背。医学检测案例容易引发认知冲突，激发讨论热情；《狼来了》故事则生动体现了后验概率的迭代思想。教学中要重点关注学生对先验概率与后验概率的辨析，以及对“样本空间划分”的准确识别。对于学有余力的学生，可引导其思考贝叶斯公式与人工智能中“贝叶斯更新”思想的联系，为未来发展埋下种子。